Program Linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
- Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan malasah.
- Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
Contoh Masalah Maximasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
PT.LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk,yaitu kain sutera dan kain wol.Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera,bahan baku benang wol dan tenaga kerja.Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60kg perhari,benang wol 30kg perhari dan tenaga kerja 40 jam perhari.Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut
Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp40 juta untuk kain sutera dan Rp30 juta untuk kain wol.Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.
Langkah Penyelesaian :
- Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
- Tentukan fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
- Tentukan Fungsi kendala / batasan
1.2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
2.2X2 ≤ 30 (benang wol)
3.2X1 +X2 ≤40 (tenaga kerja)
- Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 30
X2=15
3. 2X1 + X2 40
X1=0, X2 = 40 ,X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2 =20, X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible(daerah yang diliput ioleh semua kendala)yang terjauh dari titik origin.Pada gambar,solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1)dan(3).
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 =900
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15, X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
Contoh Masalah Minimasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly.Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein.Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit.Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:
- Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah Penyelesaian :
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Tentukan Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Tentukan Fungsi kendala
1) 2X1 +X2 ≥ 8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2 ≥12 (protein)
3) X1 ≥2
4) X2 ≥ 1
4. Membuat grafik
1) 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1 = 2
4) X2 = 1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 -> X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 -> X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2
= 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 =460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan
X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.
Artikel Terkait:
Widget by [ Berbagi itu Indah ]
0 komentar:
Posting Komentar